Question

已知函数f（x）=

x

1+x2

（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）判断f（x）在区间（-1，0）上的单调性并证明．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）根据喊单调性的定义即可判断f（x）在区间（-1，0）上的单调性并证明

解答： 解：（1）函数的定义域为R，
∵f（-x）=

-x

1+x2

=-

x

1+x2

=-f（x），
∴函数f（x）为奇函数；
（2）判断f（x）在区间（-1，0）上的单调性并证明，
设-1＜x₁＜x₂＜0，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=（x₁-x₂）•

(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在区间（-1，0）上单调递增．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据定义法是解决本题的关键．