Question

10．曲线$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数）上的点到直线$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数）的距离为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$的点的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设曲线$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数）上的一点P（3cosφ，2sinφ），直线$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为普通方程：2x+4y-5=0．则点P到直线的距离d=$\frac{|10sin（φ-θ）-5|}{2\sqrt{5}}$，求出取值范围即可判断出结论．

解答 解：设曲线$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数）上的一点P（3cosφ，2sinφ），
直线$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为普通方程：2x+4y-5=0．
则点P到直线的距离d=$\frac{|6cosφ+8sinφ-5|}{2\sqrt{5}}$=$\frac{|10sin（φ-θ）-5|}{2\sqrt{5}}$∈$[\frac{\sqrt{5}}{2}，\frac{3\sqrt{5}}{2}]$，
因此曲线$\left\{\begin{array}{l}x=3cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数）上的点到直线$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t\\ y=1-\frac{{\sqrt{5}}}{5}t\end{array}\right.$（t为参数）的距离为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$的点的个数为1个．
故选：A．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离公式、三角函数的单调性与值域、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．