Question

13．如图所示，已知SA=AB=BC=1，以SC为斜边的Rt△SAC≌Rt△SBC，且$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{SB}=\frac{3}{4}$．
（1）求二面角A-SB-C的余弦值；
（2）求异面直线AS，BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取M为SB的中点，连接AM，则AM⊥SB，又BC⊥SB，故利用向量$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{BC}$的夹角，利用余弦定理可求二面角A-SB-C的余弦值．
（2）异面直线AS，BC所成角转化为向量$\overrightarrow{AS}$，$\overrightarrow{BC}$的夹角问题，从而得解．

解答 解：（1）取M为SB的中点，连接AM，
则AM⊥SB，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{SB}$=$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{SB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{SB}$²+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{SB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{SB}$²=$\frac{3}{4}$
∴|$\overrightarrow{SB}$|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
设二面角A-SB-C为α，
∵AC=SB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，AM=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，BM=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，BC=1
∴AC²=AM²+BC²+BM²-2AM•BC•cosα，
∴cosα=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴二面角A-SB-C的余弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（2）$\overrightarrow{AS}$=$\overrightarrow{AM}$-$\overrightarrow{SM}$=$\overrightarrow{AM}$，
∴$\overrightarrow{AS}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{4}$，
∴异面直线AS，BC所成角所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．

点评 本题以向量为载体，考查面面角，线线角，关键是利用好向量条件．