Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足条件：a₁=3，a₂=2，b₁=b₂=2，b₃=3，且数列{a_n-1}为等比数列，数列{b_n+1-b_n}为等差数列，
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）当n≥3时，求证：

1

b3-2

+

1

b4-2

+…+

1

bn-2

＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用a₁=3，a₂=2，数列{a_n-1}为等比数列，求数列{a_n}的通项公式、b₁=b₂=2，b₃=3，数列{b_n+1-b_n}为等差数列，求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）n≥3时，

1

bn-2

=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

），再相加，即可证明结论

解答： （Ⅰ）解：∵a₁=3，a₂=2，数列{a_n-1}为等比数列，
∴a_n-1=2•(

1

2

)n-1=2^2-n，
∴a_n=2^2-n+1，
∵b₁=b₂=2，b₃=3，数列{b_n+1-b_n}为等差数列，
∴b_n+1-b_n=n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1）=

n2-n+4

2

；
（Ⅱ）证明：n≥3时，

1

bn-2

=

2

n(n-1)

=2（

1

n-1

-

1

n

），
∴

1

b3-2

+

1

b4-2

+…+

1

bn-2

=2（

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=2（

1

2

-

1

n

）≤

1

3

＜2．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．