题目内容
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1
（1）求an
（2）设bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
（1）求an
（2）设bn=2nan，求数列{bn}的前n项和Tn．
考点：数列的求和,等差数列的通项公式
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知条件利用等差数列的前n项和与通项公式求出公差与公差，由此能求出an=2n-1．
（2）由bn=2nan=（2n-1）•2n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．
（2）由bn=2nan=（2n-1）•2n，利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn．
解答：
解：（1）由已知得
，
解得a1=1，d=2，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵bn=2nan=（2n-1）•2n，
∴Tn=1•2+3•22+5•23+…+（2n-1）•2n，①
2Tn=1•22+3•23+5•24+…+（2n-1）•2n+1，②
①-②，得：
-Tn=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）•2n+1，
∴Tn=-2-2（22+23+…+2n）+（2n-1）•2n+1
=（2n-3）•2n+1+6．
|
解得a1=1，d=2，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵bn=2nan=（2n-1）•2n，
∴Tn=1•2+3•22+5•23+…+（2n-1）•2n，①
2Tn=1•22+3•23+5•24+…+（2n-1）•2n+1，②
①-②，得：
-Tn=2+2（22+23+…+2n）-（2n-1）•2n+1，
∴Tn=-2-2（22+23+…+2n）+（2n-1）•2n+1
=（2n-3）•2n+1+6．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
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