Question

已知

a

=（sinx，cosx），

b

=（sinx，k}），

c

=（-2cosx，sinx-k），k∈R．
（1）若f（x）=

a

•(

b

+

c

)，求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）设

d

=（1，1），若g（x）=（

b

•

c

）sinx+k²（

b

•

d

），设h（k）为g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值，求h（k）的解析式．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）=

1

2

-

2

2

sin（2x+

π

4

），再根据正弦函数的周期性和单调性，求得f（x）的最小正周期和单调递增区间．
（2）由题意可得，g（x）=-2（1-cos²x）cosx+k（1-cos²x）+k³，令t=cosx∈[0，1]，则g（x）=2t³-kt²-2t+k³+k．
记 F（t）=2t³-kt²-2t+k³+k，t∈[0，1]，则F¹（t）=2（3t²-kt-1），t∈[0，1]．由△＞0，F¹（0）=-1＜0，分类讨论，通过函数F（t）的单调性求得F（t）的最大值，可得h（k）的解析式

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•(

b

+

c

)=（sinx，cosx）•（sinx-2cosx，sinx）=sin²x-2sinxcosx+sinxcosx=

1

2

-

2

2

sin（2x+

π

4

）．
∴函数f（x）的最小正周期T=π．
令f（x）的增区间，即函数y=sin（2x+

π

4

）的减区间，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，
故y=sin（2x+

π

4

）的减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

](k∈Z)，故要求的函数的单调增区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

](k∈Z)．
（2）由题意可得，g（x）=（

b

•

c

）sinx+k²（

b

•

d

）=（-2sinxcosx+ksinx-k²）sinx+k²（sinx+k）
=-2（1-cos²x）cosx+k（1-cos²x）+k³，
令t=cosx∈[0，1]，则g（x）=2t³-kt²-2t+k³+k．
记 F（t）=2t³-kt²-2t+k³+k，t∈[0，1]，则F¹（t）=2（3t²-kt-1），t∈[0，1]．
∵△＞0，F¹（0）=-1＜0，分两种情形讨论：
①当F¹（1）=2-k≤0，即k≥2时，有F¹（x）≤0在[0，1]恒成立，故F（x）在[0，1]上单调递减，
此时F(x)max=F(0)=k3+k．
②当F¹（1）=2-k＞0，即k＜2时，有F¹（x）=0在（0，1）上存在唯一的根x₀，
从而F（x）在[0，x₀]上单调递减，在[x₀，1]上单调递增．
∵F（0）=k³+k，F（1）=k³，∴当0＜k＜2时，F(x)max=F(0)=k3+k，当k≤0时，F(x)max=F(1)=k3，
综上，h（x）=F(x)max=

k3+k (k＞0) k3(k≤0)

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，求三次函数的最值，导数与函数的单调性的关系，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．