第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5-21日在巴西里约热内卢举行.将近五届奥运会中国代表团获得的金牌数y分为五小组.有如下统计数据:届数第26届亚特兰大第27届悉尼第28届雅典第29届北京第30届伦敦组数x第1组第2组第3组第4组第5组金牌数y1628325138(I)从这五组中任取两组.求这两组所获得的金牌数之和大于70枚的概率,(Ⅱ)请根据这五组数据.求出y关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5-21日在巴西里约热内卢举行，将近五届奥运会中国代表团获得的金牌数y（单位：枚）分为五小组（组数为x），有如下统计数据：

届数	第26届亚特兰大	第27届悉尼	第28届雅典	第29届北京	第30届伦敦
组数x	第1组	第2组	第3组	第4组	第5组
金牌数y	16	28	32	51	38

（I）从这五组中任取两组，求这两组所获得的金牌数之和大于70枚的概率；
（Ⅱ）请根据这五组数据，求出y关于x的线性回归方程；并根据线性回归方程，预测第31届（第6组）奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数（结果四舍五入，保留整数）．
（题中参考数据：$\sum_{i=1}^5$（x_i-$\overline x$）（y_i-$\overline y$）=67）
附：b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$．a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．

分析（Ⅰ）根据题意，列出满足条件的情况，得出概率结论；
（Ⅱ）计算线性回归方程的系数$\widehat{b}$、$\widehat{a}$，写出线性回归方程，利用回归方程计算x=31时$\widehat{y}$的值即可．

解答解：（I）由已知可得，从这五组所获得的金牌数中任取两组，共有以下情况：
（16，28）（16，32）（16，51）（16，38）（28，32）
（28，51）（28，38）（32，51）（32，38）（51，38）
其中两组所获得的金牌数之和大于70枚的有3种，
∴这两组所获得的金牌数之和大于70枚的概率$P=\frac{3}{10}$；
（Ⅱ）由已知数据可得：$\overline x=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$，
$\overline y=\frac{16+28+32+51+38}{5}=33$，
∴$\sum_{i=1}^5{（{x_i}}-\overline x{）^2}=10$，又∵$\sum_{i=1}^5{（{x_i}}-\overline x）（{y_i}-\overline y）=67$，
∴$\widehat{b}$=6.7
∴$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=33-6.7×3=12.9$，
∴线性回归方程为y=6.7x+12.9，
当x=6时，中国代表团获得的金牌数y=6.7×6+12.9=53.1≈53（枚），
∴根据线性回归方程预测第31届奥林匹克运动会中国代表团获得的金牌数大约为53枚．

点评本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了概率问题属于中档题．