Question

6．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≥0}\\{3x-y+1≤0}\end{array}\right.$且目标函数z=ax-by（a＞0，b＜0）的最大值为-4，则$\frac{b-1}{a+1}$的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（-5，+∞）
• B． （-5，-$\frac{1}{3}$）
• C． （-∞，-3）∪（-$\frac{1}{5}$，+∞）
• D． （-3，-$\frac{1}{5}$）

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的最大值确定a，b的关系，结合直线斜率公式 进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=ax-by（a＞0，b＜0）得y=$\frac{a}{b}$x-$\frac{z}{b}$，

∵a＞0，b＜0，∴斜率k=$\frac{a}{b}$＜0，
平移直线y=$\frac{a}{b}$x-$\frac{z}{b}$，
由图象知当直线y=$\frac{a}{b}$x-$\frac{z}{b}$经过点A时直线截距最大，此时z也最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{3x-y+1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，即A（-1，-2），此时-a+2b=-4，
即a-2b-4=0，（a＞0，b＜0）
则$\frac{b-1}{a+1}$的几何意义是线段a-2b-4=0，（a＞0，b＜0）山的点到点（-1，1）的斜率，
如图：

则C（0，-2），D（4，0），
则BC的斜率最小，BD的斜率最大，
即最小值为$\frac{-2-1}{1}$=-3，最大为$\frac{0-1}{4+1}$=$\frac{1}{5}$，
则$\frac{b-1}{a+1}$的取值范围是（-3，-$\frac{1}{5}$），
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据条件作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．