Question

19．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{2-a}）x-\frac{a}{2}，（{x＜1}）\\{log_a}x，（{x≥1}）\end{array}\right.$是R上的增函数，那么实数a的取值范围是[$\frac{4}{3}$，2）．

Answer 1

分析 根据f（x）为R上的增函数，便可根据一次函数和对数函数的单调性及单调性的定义有，$\left\{\begin{array}{l}{2-a＞0}\\{a＞1}\\{（2-a）•1-\frac{a}{2}≤lo{g}_{a}1}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出实数a的取值范围．

解答 解：f（x）是R上的增函数；
∴a满足：
$\left\{\begin{array}{l}{2-a＞0}\\{a＞1}\\{（2-a）•1-\frac{a}{2}≤lo{g}_{a}1}\end{array}\right.$；
解得$\frac{4}{3}≤a＜2$；
∴实数a的取值范围为[$\frac{4}{3}$，2）．
故答案为：[$\frac{4}{3}$，2）．

点评 考查分段函数的单调性的特点，以及一次函数和对数函数的单调性，以及增函数的定义．