Question

4．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$（a≠0），若{x|f（x）≤0}={b，c}（其中b，c∈R，且b＜c），则实数a的取值范围为（e，+∞）．

Answer 1

分析 求出函数的导数，通过a的范围，判断导函数的符号，即可求函数f（x）的单调区间；讨论a＜0，a＞0，由函数的零点的个数，可得f（$\frac{1}{a}$）＜0，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，
①当a＜0时，f′（x）＜0，则函数f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．
②当a＞0时，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

所以 f（x）的单调递减区间是（0，$\frac{1}{a}$），单调递增区间是（$\frac{1}{a}$+∞）．
当a＜0时，函数f（x）在区间（0，+∞）内是减函数，
所以，函数f（x）至多存在一个零点，不符合题意．
当a＞0时，因为 f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）内是减函数，在（$\frac{1}{a}$，+∞）内是增函数，
所以要使{x|f（x）≤0}=[b，c]，必须f（$\frac{1}{a}$）＜0，即aln$\frac{1}{a}$+a＜0．
所以a＞e．
故答案为：（e，+∞）．

点评 本题考查函数的导数判断函数的单调性，函数的最值的求法，考查分类讨论以及分析问题解决问题的能力．