Question

12．现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场120份样本数据统计，年利润分布如表：

年利润	1.2万元	1.0万元	0.9万元
频数	20	60	40

对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为$\frac{1}{3}$，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如表：

合格次数	2次	1次	0次
年利润	1.3万元	1.1万元	0.6万元

记随机变量X，Y分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润，
（1）求X＞Y的概率；
（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断那个项目更具有投资价值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）X＞Y的所有情况有x=1.2，y=1.1，y=0.6，由此能求出X＞Y的概率P（X＞Y）．
（2）求出随机变量X的分布列和EX及随机变量Y的分布列EY，由EX＞EY，且X＞Y的概率与X＜Y的概率相当，得到从长期投资来看，项目甲更具有投资价值．

解答 解：（1）X＞Y的所有情况有：
P（x=1.2，y=1.1）=$\frac{1}{6}$×${C}_{2}^{1}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{27}$|，
P（y=0.6）=${C}_{2}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{4}{9}$，
∴X＞Y的概率P（X＞Y）=$\frac{2}{27}+\frac{4}{7}$=$\frac{122}{189}$．…（6分）
（2）随机变量X的分布列为：

X	1.2	1.0	0.9
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$

∴EX=$1.2×\frac{1}{6}+1.0×\frac{1}{2}+0.9×\frac{1}{3}$=1万元．
随机变量Y的分布列为：

Y	1.3	1.1	0.6
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$

∴EY=$1.3×\frac{1}{9}+1.1×\frac{4}{9}+0.6×\frac{4}{9}$=0.9万元．…（10分）
∵EX＞EY，且X＞Y的概率与X＜Y的概率相当，
∴从长期投资来看，项目甲更具有投资价值．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件乘法公式的合理运用．