Question

8．已知正三棱锥S-ABC的底面边长为a，侧棱与底面所成的角为60°，则此棱锥的高为a；侧棱长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a；侧面与底面所成的角arctan2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据正三棱锥的性质，分别求出三棱锥的高以及侧棱和底面所成的角，以及侧面和底面所成角的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可．

解答 解：∵三棱锥S-ABC的侧棱与底面ABC所成的角都是60°，
∴过S作SO⊥平面ABC交于点O，延长AO交BC于D．
∴点O是△ABC的中心，
∴AD是等边△ABC的一条高，
连接SD，
则∠SAO是SA与底面ABC所成的角，∠SDO是侧面SBC与底面ABC所成的角．
则∠SAO=60°，
∵正三棱锥S-ABC的底面边长为a，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴AO=$\frac{2}{3}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
∵∠SAO=60°，
∴SA=2AO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，tan60°=$\frac{SO}{AO}$=$\sqrt{3}$，即SO=$\sqrt{3}$AO=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=a．
OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{1}{3}×$$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
则tan∠SDO=$\frac{SO}{OD}$=$\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{6}a}$=2$\sqrt{3}$，
即∠SDO=arctan2$\sqrt{3}$，
故答案为：a，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，arctan2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正三棱锥的性质、线面角、线面垂直的判定与性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，利用空间角的定义转化为平面角是解决本题的关键．．