Question

10．设数列{a_n}前n项和为S_n，且S_n+a_n=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=a₁，b_n=$\frac{3{b}_{n-1}}{{b}_{n-1}+3}$，n≥2 求证{$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由数列递推式可得S_n+1+a_n+1=2，与原数列递推式作差可得数列{a_n}是等比数列，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）由b₁=a₁求得b₁，把b_n=$\frac{3{b}_{n-1}}{{b}_{n-1}+3}$变形可得{$\frac{1}{{b}_{n}}$}为等差数列，求其通项公式后可得数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）把{a_n}，{b_n}的通项公式代入c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，利用错位相减法求数列{c_n}的前n和T_n．

解答 （Ⅰ）解：由S_n+a_n=2，得S_n+1+a_n+1=2，两式相减，得2a_n+1=a_n，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{1}{2}$（常数），
∴数列{a_n}是等比数列，
又n=1时，S₁+a₁=2，∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
（Ⅱ）证明：由b₁=a₁=1，且n≥2时，b_n=$\frac{3{b}_{n-1}}{{b}_{n-1}+3}$，得b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}-\frac{1}{{b}_{n-1}}=\frac{1}{3}$，
∴{$\frac{1}{{b}_{n}}$}是以1为首项，$\frac{1}{3}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}=1+\frac{n-1}{3}=\frac{n+2}{3}$，故${b}_{n}=\frac{3}{n+2}$；
（Ⅲ）解：c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n+2}{3}•（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
${T}_{n}=\frac{1}{3}[3•（\frac{1}{2}）^{0}+4•（\frac{1}{2}）^{1}+…+（n+2）•（\frac{1}{2}）^{n-1}]$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{3}[3•（\frac{1}{2}）^{1}+4•（\frac{1}{2}）^{2}+…+（n+1）•（\frac{1}{2}）^{n-1}+（n+2）•（\frac{1}{2}）^{n}]$，
以上两式相减得，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{3}[3+（\frac{1}{2}）^{1}+（\frac{1}{2}）^{2}+…+（\frac{1}{2}）^{n-1}-（n+2）•（\frac{1}{2}）^{n}]$
=$\frac{1}{3}[3+\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}-（n+2）•（\frac{1}{2}）^{n}]$
=$\frac{1}{3}[4-（\frac{1}{2}）^{n-1}-（n+2）•（\frac{1}{2}）^{n}]$．
∴${T}_{n}=\frac{8}{3}-\frac{n+4}{3•{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．