Question

15．设命题p：函数y=c^x为减函数；命题q：已知c＞0，当x∈[1，2]时，函数f（x）=x+$\frac{1}{4x}＞\frac{1}{c}$恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q成立的等价条件，利用p∨q为真命题，p∧q为假命题，确定实数c的取值范围

解答 解∵指数函数y=c^x数为减函数，
∴0＜c＜1，
即p真时，0＜c＜1．
函数f（x）=x+$\frac{1}{4x}$＞$\frac{1}{c}$对x∈[1，2]恒成立，由对勾函数的性质可知f（x）=x+$\frac{1}{4x}$在x∈[1，2]上单调递增，
所以f（x）_min=f（1）=$\frac{5}{4}$，
$\frac{1}{c}$＜$\frac{5}{4}$，得c＞$\frac{4}{5}$，
即q真时，c＞$\frac{4}{5}$，
∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p、q一真一假．
①p真q假时，0＜c≤$\frac{4}{5}$；②p假q真时，c≥1．
故c的取值范围为0＜c≤$\frac{4}{5}$或c≥1．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．