Question

2．已知函数f（x）=1-$\frac{1}{x}$，x∈（-∞，0），判断f（x）的单调性并用定义证明．

Answer 1

分析 可以看出x增大时，$-\frac{1}{x}$增大，从而f（x）增大，从而得出该函数在（-∞，0）内单调递增．根据增函数的定义，设任意的x₁＜x₂＜0，然后作差，通分，证明f（x₁）＜f（x₂）即可得出f（x）在（-∞，0）内单调递增．

解答 解：x增大时，$\frac{1}{x}$减小，$-\frac{1}{x}$增大，f（x）增大，∴f（x）在（-∞，0）内单调递增，证明如下：
设x₁＜x₂＜0，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{1}}=\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$；
∵x₁＜x₂＜0；
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）内单调递增．

点评 考查增函数的定义，以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分．