Question

如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点, =4.

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′,过P、P′作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP′Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.

Answer 1

解:(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1,

又e=,故b2==8,从而a2==16.

故该椭圆的标准方程为+=1.

(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8×（1-）=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).

设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,

因此,当x=x1时|QM|2取最小值,

又x1∈(-4,4),所以当x=2x0时|QM|2取最小值,

从而x1=2x0,且|QP|2=8-.

由对称性知P′(x1,-y1),故|PP′|=|2y1|,

所以S=|2y1||x1-x0|

=×2|x0|

=

=·.

当x0=±时,△PP′Q的面积S取得最大值2.

此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(±,0),半径|QP|==,

因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+)2+y2=6,(x-)2+y2=6.