题目内容
已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E（1,
）.过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若P为线段AB的中点,求k1;
(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.
解:(1)依题设c=1,且右焦点F′(1,0).
所以2a=|EF|+|EF′|=
+
=2
,
b2=a2-c2=2,
故所求的椭圆的标准方程为
+
=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则
+
=1,①
+
=1.②
②-①,得
+
=0.
所以k1=
=-
=-
=-
.
(3)依题设,k1≠k2.
设M(xM,yM),
又直线AB的方程为y-1=k1(x-1),
即y=k1x+(1-k1),
亦即y=k1x+k2,
代入椭圆方程并化简得(2+3
)x2+6k1k2x+3
-6=0.
于是,xM=
,yM=
,
同理,xN=
,yN=
.
当k1k2≠0时,
直线MN的斜率k=
=
=
.
直线MN的方程为y-=(x-),
即y=x+(·
+),
亦即y=x-.
此时直线过定点（0,-）.
当k1k2=0时,直线MN即为y轴,
此时亦过点（0,-）.
综上,直线MN恒过定点,且坐标为（0,-）.
练习册系列答案
相关题目
-
=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为( )
-
=1 (B) 
-
=1
-
=1 (D) 
-
=1
+
+
=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为
.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
时,求k的值.
x的焦点重合,则椭圆的方程为( )
+
=1 (B) 
=1
=1 (D) 
+
=1
)在椭圆C上,则椭圆C的标准方程为 . 
-
=1(a>0,b>0)和椭圆
+
=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 . 
,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点, 
=4.
