题目内容
如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADD''A1和CDD'C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D''与D'重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧，设BE=t（t＞0）（图2）．（1）设二面角E-AC-D1的大小为q，若
，求t的取值范围；（2）在线段D1E上是否存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，若存在，求出P分
所成的比λ；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，设BE=t，分别求出平面D1AC的法向量与平面EAC的法向量，代入向量夹角公式，根据
，构造不等式，解不等式即可得到答案．
（2）假设存在满足题意的点P，令
=λ
，则可以求出P点的坐标，再根据平面PA1C1∥平面EAC，我们可根据
•
=0，构造方程，解方程即可求出满足条件的λ的值．
解答：解：（1）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系如图．设BE=t（t＞0）．
（1）A（
，0，0），C（-
，0，0），D1（0，
，a），E（0，
，t）
=（-
，
，a），
=（
，0，0）
设平面D1AC的法向量为
，
则
，
令z1=1得
．
=（-
，
，t），设平面EAC的法向量为
，
则
，
令z2=-a得
．
设二面角E-AC-D1的大小为θ，则cosθ=
=
．
∵
∴
∴
≤|
|≤
解得
所以t的取值范围是
．
（2）假设存在满足题意的点P，
令
=λ
则P（0，
，
）
由平面PA1C1∥平面EAC，
得A1P∥平面EAC，
∴
•
=0
∴t•
-
=0，
化简：λ=
（t≠a）
即线段D1E上存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，P分
所成的比λ=
（t≠a）；
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，民平面平行的判定，（1）的关键是出平面D1AC的法向量与平面EAC的法向量，代入向量夹角公式，根据
，构造不等式，（2）的关键是根据
•
=0，构造方程．
，构造不等式，解不等式即可得到答案．（2）假设存在满足题意的点P，令
=λ
，则可以求出P点的坐标，再根据平面PA1C1∥平面EAC，我们可根据
•
=0，构造方程，解方程即可求出满足条件的λ的值．解答：解：（1）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系如图．设BE=t（t＞0）．
（1）A（
，0，0），C（-
，0，0），D1（0，
，a），E（0，
，t）
=（-
，
，a），
=（
，0，0）设平面D1AC的法向量为
，则
，令z1=1得
．
=（-
，
，t），设平面EAC的法向量为
，则
，令z2=-a得
．设二面角E-AC-D1的大小为θ，则cosθ=
=
．∵
∴
∴
≤|
|≤
解得
所以t的取值范围是
．（2）假设存在满足题意的点P，
令
=λ
则P（0，
，
）由平面PA1C1∥平面EAC，
得A1P∥平面EAC，
∴
•
=0∴t•
-
=0，化简：λ=
（t≠a）即线段D1E上存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，P分
所成的比λ=
（t≠a）；点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，民平面平行的判定，（1）的关键是出平面D1AC的法向量与平面EAC的法向量，代入向量夹角公式，根据
，构造不等式，（2）的关键是根据
•
=0，构造方程． 
练习册系列答案
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如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A1和CD D′C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．
的菱形，ADD``A1和CD D`C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D``与D`重合于点D1 .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．
£ q £ 
，求线段BE长的取值范围；
上存在点
，使平面
平面
，求
与BE之间满足的关系式，并证明：当0 < BE < a时，恒有己知在锐角ΔABC中，角
所对的边分别为
，且
(I )求角
大小；
(II)当
时，求
的取值范围.
20．如图1，在平面内，
是
的矩形，
是正三角形，将沿
折起，使
如图2，
为的中点，设直线
过点且垂直于矩形所在平面，点
是直线上的一个动点，且与点
位于平面的同侧。
（1）求证：
平面；
（2）设二面角
的平面角为
，若
，求线段
长的取值范围。
 |
21.已知A，B是椭圆
的左，右顶点，
，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线
于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列,R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交X轴于T点
(1)求椭圆C的方程；
（2）求三角形MNT的面积的最大值
22. 已知函数
，
（Ⅰ）若
在
上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为
，试求
和
的值。
（Ⅱ）若为奇函数：
（1）是否存在实数，使得在
为增函数，
为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（2）如果当
时，都有
恒成立，试求的取值范围.
≤θ≤
，求线段BE长的取值范围；
与BE之间满足的关系式，并证明：当0＜BE＜a时，恒有
＜1．