Question

如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A₁和CD D′C₁都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧（图2）．
（Ⅰ） 设二面角E-AC-D₁的大小为θ，若

π

4

≤θ≤

π

3

，求线段BE长的取值范围；
（Ⅱ）在线段D₁E上存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，求

D1P

PE

与BE之间满足的关系式，并证明：当0＜BE＜a时，恒有

D1P

PE

＜1．

Answer 1

分析：（I）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系BE=t，分别求出平面D₁AC的法向量与平面EAC的法向量，代入向量夹角公式，并根据

π

4

≤θ≤

π

3

，构造关于t的不等式，即可求出线段BE长的取值范围；
（Ⅱ）设

D1P

=λ

PE

，分别求出平面PA₁C₁和平面EAC的法向量，并根据平面PA₁C₁∥平面EAC得到λ，a，t的关系式，结合0＜BE＜a，即可得到结论．

解答：解：设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系如图．
设BE=t（t＞0）．
（Ⅰ）A(

3

2

a，0，0)，C(-

3

2

a，0，0)，D1(0，-

a

2

，a)，E(0，

a

2

，t)．

AD1

=(-

3

2

a，-

a

2

，a)，

AC

=(-

3

a，0，0)，
设平面D₁AC的法向量为

n1

=(x1，y1，1)，则

n1 • AD1 =0 n1 • AC =0

?

- 3 2 ax1- a 2 y1+a=0 - 3 ax1=0

?

x1=0 y1=2

∴

n1

=(0，2，1)．（3分）

AE

=(-

3

2

a，

a

2

，t)，
设平面EAC的法向量为

n2

=(x2，y2，-1)，
则

n2 • AE =0 n2 • AC =0

?

- 3 2 ax2+ a 2 y2-t=0 - 3 ax2=0

?

x2=0 y2= 2t a

∴

n2

=(0，

2t

a

，-1)．（4分）
设二面角E-AC-D₁的大小为θ，则cosθ=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

4t-a

20t2+5a2

，（6分）
∵cosθ∈[

1

2

，

2

2

]，∴

1

2

≤|

4t-a

20t2+5a2

|≤

2

2

，
解得

8+5 3

22

a≤t≤

3a

2

．所以BE的取值范围是[

8+5 3

22

a，

3a

2

]．（8分）
（Ⅱ）设

D1P

=λ

PE

，则P(0，

a

2

•

λ-1

λ+1

，

λt+a

1+λ

)．∵A1(

3

2

a，0，a)，∴

A1P

=(-

3

2

a，

a

2

•

λ-1

λ+1

，

λt-aλ

1+λ

)．
由平面PA₁C₁∥平面EAC，得A₁P∥平面EAC，∴

A1P

•

n2

=0．∴t•

λ-1

λ+1

-

λt-aλ

1+λ

=0，化简得：λ=

t

a

（t≠a），即所求关系式：

D1P

PE

=

BE

a

（BE≠a）．
∴当0＜t＜a时，

D1P

PE

＜1．即：当0＜BE＜a时，恒有

D1P

PE

＜1．（14分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，平面与平面平行的性质，与二面角有关的立体几何综合问题，向量语言表述面面的平行关系，建立适当的空间坐标系，将空间二面角问题及面面平行问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．