Question

如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADD''A₁和CDD'C₁都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D''与D'重合于点D₁．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D₁位于平面ABCD同侧，设BE=t（t＞0）（图2）．
（1）设二面角E-AC-D₁的大小为q，若

π

4

≤θ≤

π

3

，求t的取值范围；
（2）在线段D₁E上是否存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，若存在，求出P分

D1E

所成的比λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，设BE=t，分别求出平面D₁AC的法向量与平面EAC的法向量，代入向量夹角公式，根据

π

4

≤θ≤

π

3

，构造不等式，解不等式即可得到答案．
（2）假设存在满足题意的点P，令

D1P

=λ

PE

，则可以求出P点的坐标，再根据平面PA₁C₁∥平面EAC，我们可根据

A1P

•

n2

=0，构造方程，解方程即可求出满足条件的λ的值．

解答：解：（1）设菱形ABCD的中心为O，以O为原点，对角线AC，BD所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系如图．设BE=t（t＞0）．

（1）A（

3

2

a，0，0），C（-

3

2

a，0，0），D₁（0，-

a

2

，a），E（0，-

a

2

，t）

AD1

=（-

3

2

a，-

a

2

，a），

AC

=（-

3

a，0，0）
设平面D₁AC的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则

n1 • AD1 =0 n1 • AC =0

?

- 3 2 ax1- a 2 y1+z1a=0 - 3 ax1=0

，
令z₁=1得

n1

=(0，2，1)．

AE

=（-

3

2

a，

a

2

，t），设平面EAC的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，
则

n2 • AE =0 n1 • AC =0

?

- 3 2 ax2+ a 2 y2+z2=0 - 3 ax2=0

，
令z₂=-a得

n2

=(0，2t，-a)．
设二面角E-AC-D₁的大小为θ，则cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

4t-a

20t2+5a2

．
∵

π

4

≤θ≤

π

3

∴cosθ∈[

1

2

，

2

2

]
∴

1

2

≤|

4t-a

20t2+5a2

|≤

2

2

解得

8+5 3

22

a≤t≤

3a

2

所以t的取值范围是[

8+5 3

22

a，

3a

2

]．
（2）假设存在满足题意的点P，
令

D1P

=λ

PE

则P（0，

a

2

•

λ-1

λ+1

，

λt+a

1+λ

）
由平面PA₁C₁∥平面EAC，
得A₁P∥平面EAC，
∴

A1P

•

n2

=0
∴t•

λ-1

λ+1

-

λt-aλ

1+λ

=0，
化简：λ=

t

a

（t≠a）
即线段D₁E上存在点P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，P分

D1E

所成的比λ=

t

a

（t≠a）；

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，民平面平行的判定，（1）的关键是出平面D₁AC的法向量与平面EAC的法向量，代入向量夹角公式，根据

π

4

≤θ≤

π

3

，构造不等式，（2）的关键是根据

A1P

•

n2

=0，构造方程．