Question

10．已知变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+y≤2\\ x≥0\end{array}\right.$，若 z=ax+y的最大值为4，则a=（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． -2
• D． -3

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，对a分类讨论得到最优解，可得a≤0时不合题意，a＞0时，把最优解的坐标代入目标函数列式求得a值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≤0\\ x+y≤2\\ x≥0\end{array}\right.$作出可行域如图，

B（0，2），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
化目标函数z=ax+y为y=-ax+z，
若a≤0，当直线y=-ax+z过B时直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2，不合题意；
若a＞0，当直线y=-ax+z过A时直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+1=4，得a=3．
故选：A．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．