Question

20．已知二次函数f（x）=x²+2ax+2b有两个零点x₁，x₂，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，则直线bx-（a-1）y+3=0的斜率的取值范围是（　　）

• A． $（-\frac{2}{5}，\frac{2}{3}）$
• B． $（-\frac{2}{5}，\frac{3}{2}）$
• C． $（-\frac{2}{5}，\frac{1}{2}）$
• D． $（-∞，-\frac{2}{5}）∪（\frac{2}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域，明确目标函数的几何意义，即可求得结论．

解答 解：二次函数f（x）=x²+2ax+2b有两个零点x₁，x₂，
且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，
则x₁，x₂是函数g（x）的两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-8b＞0}\\{f（-1）=1-2a+2b＞0}\\{f（1）=1+2a+2b＜0}\\{f（2）=4+4a+2b＞0}\end{array}\right.$，其中△＞0可以去掉．
画出可行域：平面三角形ABC的内部的所有点．
A（0，-$\frac{1}{2}$），B（-$\frac{3}{2}$，1），C（-$\frac{1}{2}$，-1）．
直线bx-（a-1）y+3=0的斜率k=$\frac{b}{a-1}$，
表示经过两点（a，b），P（1，0）的直线的斜率．
k_PC=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，k_PB=$\frac{1}{-\frac{3}{2}-1}$=-$\frac{2}{5}$．
∴-$\frac{2}{5}$＜k＜$\frac{2}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查解不等式、线性规划、二次函数的性质，考查了转化能力与计算能力，属于中档题．