Question

6．设a_n是${（1-\sqrt{x}）^n}$的展开式中x项的系数（n=2，3，4，…），若${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{（n+7）a_{n+2}^{\;}}}$，则b_n的最大值是（　　）

• A． $\frac{{9-2\sqrt{14}}}{25}$
• B． $\frac{2}{33}$
• C． $\frac{3}{50}$
• D． $\frac{{7-2\sqrt{6}}}{25}$

Answer 1

分析 利用二项式定理可得展开式中x项的系数=${∁}_{n}^{2}$=a_n，代入${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{（n+7）a_{n+2}^{\;}}}$=$\frac{n}{（n+7）（n+2）}$=$\frac{1}{n+\frac{14}{n}+9}$，利用基本不等式的性质或函数的单调性即可得出．

解答 解：${（1-\sqrt{x}）^n}$的通项公式：T_r+1=${∁}_{n}^{r}$$（-\sqrt{x}）^{r}$=（-1）^r${∁}_{n}^{r}$${x}^{\frac{r}{2}}$，令$\frac{r}{2}$=1，解得r=2．
∴展开式中x项的系数=${∁}_{n}^{2}$=a_n，
即a_n=$\frac{n（n-1）}{2}$．
∴${b_n}=\frac{{{a_{n+1}}}}{{（n+7）a_{n+2}^{\;}}}$=$\frac{\frac{（n+1）n}{2}}{（n+7）\frac{（n+1）（n+2）}{2}}$=$\frac{n}{（n+7）（n+2）}$=$\frac{1}{n+\frac{14}{n}+9}$≤$\frac{1}{2\sqrt{14}+9}$，
n∈N^*（n＞1），可得n=4时，b_n取得最大值$\frac{2}{33}$．
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理、基本不等式的性质、函数的单调性、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．