Question

3．若圆C的方程为（x-3）²+（y-1）²=9与直线斜率为1的直线m交于A，B两点，且以AB为直径的圆过原点，
（1）求直线m的方程；
（2）若过点T（1，3）的直线l与圆C交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，求M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用圆系知识设出圆的方程，利用以AB为直径的圆过原点，即可求直线m的方程；
（2）设出线段PQ的中点M的坐标，利用圆的圆心与弦垂直，通过斜率乘积为-1，即可求出M的轨迹方程．

解答 解：（1）设直线m的方程为y=x+b，即x-y+b=0，则
与圆C相交于直线m的圆的方程为（x-3）²+（y-1）²-9+λ（x-y+b）=0，圆心为（$\frac{6-λ}{2}$，$\frac{2+λ}{2}$）
∵以AB为直径的圆过原点，
∴（0-3）²+（0-1）²-9+λb=0，$\frac{6-λ}{2}$-$\frac{2+λ}{2}$+b=0，
∴b=-1，
∴直线m的方程为y=x-1；
（2）设M（x，y）由题意可知MC⊥MT，
∵C（3，1），T（1，3）
∴$\frac{y-3}{x-1}•\frac{y-1}{x-3}$=-1
整理得（x-2）²+（y-2）²=2，
线段PQ的中点M的轨迹方程：x-2）²+（y-2）²=2．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆系知识，考查直线的垂直关系的应用，考查计算能力，转化思想．