Question

3．如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=AC，AB=$\sqrt{2}$AA₁，AC₁⊥A₁B，M，N分别是A₁B₁，AB的中点，给出下列结论：
①C₁M⊥平面A₁ABB，
②A₁B⊥NB₁，
③平面AMC₁⊥平面CBA₁
其中正确结论的个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 先证明AM⊥A₁B，AM∥NB₁，即可得解A₁B⊥NB₁，又AC₁⊥A₁B，进而可证平面AMC₁⊥平面CBA₁，利用面面垂直的性质可证C₁M⊥平面A₁ABB．

解答 解：∵由已知，设AA₁=1，则可求：A₁M=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AM=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}+{A}_{1}{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$；
AB=$\sqrt{2}$，A₁B=$\sqrt{{A}_{1}{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴sin∠A₁AM=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，cos∠A₁AM=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，sin∠AA₁B=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，cos∠AA₁B=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴设A₁B与AM交于点Q点，则：
sin∠A₁QA=sin[π-（∠AA₁B+∠A₁AM）]=sin（∠AA₁B+∠A₁AM）=sin∠AA₁Bcos∠A₁AM+cos∠AA₁Bsin∠A₁AM=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}×\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}×\frac{1}{\sqrt{3}}$=1，
∴A₁B⊥AM．
∵MB₁$\stackrel{∥}{=}$AN，
∴四边形ANB₁M为平行四边形，可证：AM∥NB₁，
可得：A₁B⊥NB₁，故②正确；
又AC₁⊥A₁B，所以A₁B⊥平面AMC₁，所以，平面AMC₁⊥平面CBA₁，故③正确；
显然有C₁M⊥平面A₁ABB．故①正确；
故选：D．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，平面与平面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．