Question

15．已知极坐标方程ρcosθ+ρsinθ-1=0的直线与x轴的交点为P，与椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）交于点A，B两点．
（1）求点P的直角坐标；
（2）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把极坐标方程ρcosθ+ρsinθ-1=0化为直角坐标，进而得到P．
（2）利用cos²θ+sin²θ可把椭圆参数方程化为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，代入椭圆方程，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|，即可得出．

解答 解：（1）极坐标方程ρcosθ+ρsinθ-1=0化为直角坐标：x+y-1=0，
令y=0，可得x=1，
∴P（1，0）．
（2）椭圆$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）消去参数化为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
代入椭圆方程可得：5t²-2$\sqrt{2}$t-6=0，
∴t₁t₂=-$\frac{6}{5}$．
∴|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁t₂|=$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交弦长问题、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．