Question

【题目】已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求；

（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，1.

【解析】

（1）利用基本量法直接计算即可；

（2）利用错位相减法计算；

（3），令可得，，讨论即可.

（1）设数列的公差为，数列的公比为，

因为，

所以，即，解得，或（舍去）.

所以.

（2），

，

所以，

所以.

（3）由（1）可得，，

所以.

因为是数列或中的一项，所以，

所以，因为，

所以，又，则或.

当时，有，即，令.

则.

当时，；当时，，

即.

由，知无整数解.

当时,有，即存在使得是数列中的第2项，

故存在正整数，使得是数列中的项.