Question

16．在三棱锥P-ABC中，底面△ABC为正三角形，且PA=PB=PC，G为△PAC的重心，过G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线AC与PB，若截面是边长为2的正方形，则三棱锥的体积为（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{9\sqrt{11}}{4}$
• C． $\frac{16\sqrt{2}}{3}$
• D． 18$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作出符合条件的截面，根据比例线段得出三棱锥的底面边长和侧棱长，求出棱锥的高，代入体积公式计算．

解答 解：取AC中点D，连结AD，过G作MN∥AC，交PA于M，交PC于N，过M作MQ∥PB交AB于Q，过N作NF∥PB交BC于F．
则四边形MNFQ为符合条件的截面．
∵G是△PAC的重心，∴$\frac{PN}{PC}$=$\frac{MN}{AC}=\frac{PG}{PD}=\frac{2}{3}$，∴AC=3.$\frac{CN}{CP}=\frac{1}{3}$．
∵NF∥PB，∴$\frac{NF}{PB}=\frac{CN}{PC}$=$\frac{1}{3}$，∴PB=6．
过P作PE⊥平面ABC，垂足为E，∵△ABC为正三角形，∴E是△ABC的中心．
∴BE=$\sqrt{3}$．∴PE=$\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{33}$．
∴V_棱锥P-ABC=$\frac{1}{3}$S_△ABC•PE=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×\sqrt{33}$=$\frac{9\sqrt{11}}{4}$．
故选：B．

点评 本题考察了棱锥的结构特征，线面平行的性质，相似三角形及体积计算，作出棱锥的截面是解题关键，属于中档题．