Question

（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF ∥平面CB₁D₁；
（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

Answer 1

（1）见解析；（2）见解析。

解析试题分析：（1）连结BD
在正方体中，对角线.
又 E、F为棱AD、AB的中点，
. .
又B₁D₁平面，平面，
  EF∥平面CB₁D₁.
（2） 在正方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，
 AA₁⊥B₁D₁.
又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，
 B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.   又 B₁D₁平面CB₁D₁，
平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．
考点：线面垂直的判定定理；面面垂直的判定定理。
点评：本题第一问的关键是证得B₁D₁∥EF；第二问的关键是熟练掌握空间中线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化。