Question

【题目】已知函数.

（1）若是函数的极值点，求的单调区间；

（2）当时，证明：

Answer 1

【答案】（1）递减区间为（-1，0），递增区间为（2）见解析

【解析】

（1）根据函数解析式，先求得导函数，由是函数的极值点可求得参数.求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.

（2）当时，.代入函数解析式放缩为，代入证明的不等式可化为，构造函数，并求得，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函数的最小值，由对数式变形化简可证明，即成立，原不等式得证.

（1）函数

可求得，则

解得

所以，定义域为

，

在单调递增，而，

∴当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

此时是函数的极小值点，

的递减区间为，递增区间为

（2）证明：当时，

，

因此要证当时，，

只需证明，

即

令，

则，

在是单调递增，

而，

∴存在唯一的，使得，

当，单调递减，当，单调递增，

因此当时，函数取得最小值，

，

，

故，

从而，即，结论成立.