Question

已知函数f（x）的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．若g（x）=x+m-lnx的保值区间是[e，+∞），则m的值为

 

．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：本题可先对函数g（x）求导数，确定其单调区间，然后在区间[e，+∞）上研究它的值域，根据题中的新定义，又得到函数的值域，通过值域的比较，得到e满足的等式，求出e的值，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f（x）的保值区间．
又∵g（x）=x+m-lnx的保值区间是[e，+∞），
∴g（x）=x+m-lnx定义域为[e，+∞），值域也为[e，+∞）．
∵g′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，（x＞0）
∴函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）=x+m-lnx在[e，+∞）单调递增．
∴g（x）≥g（e）．
∴g（e）=e．
∴e+m-lne=e，
∴e=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了函数定义域、函数的值域以及函数的导数，本题思维量不大，属于基础题．