Question

【题目】已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．

（1）已知，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；

（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值．

Answer 1

【答案】(1)减区间为，增区间为，值域为;(2) .

【解析】

(1)设，则，由题意求出的增减性，，从而可求出的单调区间；结合单调性及区间端点处的函数值即可求出值域.

(2)由一次函数的单调性可知，结合已知条件可知，从而可求出参数的值.

(1)解：设 ，则 ，因为，则.

由已知性质可知在上为减函数，在上为增函数.

所以减区间为，增区间为.

当，即时，，又，

所以，所以值域为.

(2)因为为减函数，所以当时，.

因为对任意，总存在，使得成立，

所以值域是值域的子集，即，则，

解得且，即.