题目内容
【题目】已知函数
.
（1）当
时，讨论函数
的单调性；
（2）若函数在区间
上无零点，求
的取值范围.
【答案】（1）减区间为
，单调递增区间为
；（2）
【解析】
（1）把
代入到
中求出
，令
求出
的范围即为函数的增区间，令
求出的范围即为函数的减区间；
（2）
时不可能恒成立，所以要使函数在
上无零点，只需要对
时
恒成立，列出不等式解出
大于一个函数，利用导数得到函数的单调性，根据函
数的增减性得到这个函数的最大值即可得到的取值范围；
解：（1）当时，
，定义域为
，则
，
令
，得
，令
，得
，
∴
的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为.
（2）∵函数在区间
上无零点，
∴在区间上，
恒成立或
恒成立，
，
，
①当
时，，
在区间
上，
，
记
，
则
，
在区间上，
，
∴在区间上，
单调递减，∴
，
即
，∴
，
即在区间上恒成立，满足题意；
②当
时，
，
，
，
∵
，
，∴
，
∴在
上有零点，即函数在区间上有零点，不符合题意.
综上所述，.
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【题目】2020年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意.
（1）完成
列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；
满意 | 不满意 | 总计 | |
男生 | 20 | ||
女生 | 15 | ||
合计 | 120 |
（2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为
，求出的分布列及期望值.
参考公式：附：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 0.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10828 |
