Question

14．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点P（3，y）到左、右焦点的距离分别为$\frac{13}{2}$，$\frac{7}{2}$，则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{\frac{75}{4}}=1$．

Answer 1

分析 由已知结合定义求得a值，再由焦半径公式求得c，结合隐含条件求出b，则椭圆方程可求．

解答 解：∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点P（3，y）到左、右焦点的距离分别为$\frac{13}{2}$，$\frac{7}{2}$，
可得2a=$\frac{13}{2}+\frac{7}{2}=10$，即a=5．
由左焦半径$a+3e=\frac{13}{2}$，得$3e=\frac{13}{2}-5=\frac{3}{2}$，即e=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{c}{5}=\frac{1}{2}$，c=$\frac{5}{2}$，则${b}^{2}={a}^{2}-{c}^{2}=25-\frac{25}{4}=\frac{75}{4}$．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{\frac{75}{4}}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{\frac{75}{4}}=1$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，主要是定义及焦半径公式的应用，是基础题．