Question

已知双曲线实轴在x轴，且实轴长为2，离心率e=

3

，L是过定点p（1，1）的直线．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）判断L能否与双曲线交于A，B两点，且线段AB恰好以点P为中点，若存在，求出直线L的方程，若不存，说明理由．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得a=1，由离心率公式和a，b，c的关系可得b，进而得到双曲线的方程；
（2）先假设存在这样的直线l，分斜率存在和斜率不存在设出直线l的方程，当k存在时，与双曲线方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，直线与双曲线相交于两个不同点，则△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

，P是线段AB的中点，则

x1+x2

2

=1，解得k=2 与k＜

3

2

，矛盾，当k不存在时，直线经过点P但不满足条件，故符合条件的直线l不存在．

解答： 解：（1）由于2a=2，即a=1，
离心率e=

3

即为

c

a

=

3

，则c=

3

，
b²=c²-a²=3-1=2，
则双曲线的方程为x²-

y2

2

=1；
（2）设过点P（1，1）的直线方程为y=k（x-1）+1或x=1．
①当k存在时有

y=k(x-1)+1 2x2-y2=2

，
得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0，
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，解得k＜

3

2

，
又方程的两个不同的根是两交点A、B的横坐标，
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

，
又M（1，1）为线段AB的中点，
∴

x1+x2

2

=1即

k-k2

2-k2

=1，解得，k=2．
由于k=2，使2-k²≠0但使△＜0，
因此当k=2时，方程无实数解．
故过点P（1，1）与双曲线交于两点A、B，
且P为线段AB中点的直线不存在．
②当x=1时，直线经过点P但不满足条件，
综上，符合条件的直线l不存在．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与双曲线的位置关系，特别是相交时的中点弦问题，解题时要特别注意韦达定理的重要应用，学会判断直线与曲线位置关系的判断方法．