题目内容
【题目】如图，在等腰梯形
中，
，
，
，E，F分别为
，
边的中点.现将
沿着
折叠到
的位置，使得平面
平面
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
.
【解析】
（1）在等腰梯形
中，
，
，
，E，F分别为
、
边的中点，易证
为等边三角形，
，根据平面
平面
易证
平面
，再由
平面
，故平面
平面.
（2）取
的中点O，易证
平面，再证明
，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求平面
的法向量和平面
的法向量，再求这两个法向量夹角余弦值的绝对值，结合观察图形，可求二面角
的余弦值.
解：（1）证明：如图，连接
，
∵E为的中点，故
且
，
故四边形为平行四边形，
，
所以
为等边三角形. 同理可证为等边三角形，
所以
为等边三角形，
∵在等腰梯形中，，，
为等边三角形，F为的中点，
故
，即．
又∵平面
平面
，且平面平面，
故平面
. 又∵平面，
故平面平面.
（2）取的中点O，连接
，
，
∵
，∴
.
又∵平面平面，且平面平面，
∴平面，
为等边三角形，故.
如图，以O为坐标原点，为x轴，
为y轴，
为z轴建立空间直角坐标系．
，
，
，
，
.
设平面的法向量为
故
解得
．
设平面的法向量为
，
则
，
∵为锐二面角，
故二面角的余弦值为.
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