Question

【题目】已知函数.

（1）求的极大值点；

（2）当，时，若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）先求导数，求出导函数的零点，安照、、三种情况讨论的极大值点；

（2）设切点，利用该点的导数等于切线斜率、切线过点两个条件整理得到关于的方程，进一步研究函数的取值情况.

解：（1），

令，得或．

若，则当时，；

当时，，

故在，上单调递增，在上单调递减，

此时的极大值点为；

若，则当时，；

当时，，

故在，上单调递增，在上单调递减，

此时的极大值点为；

若，在上单调递增，无极值．

（2）设过点的直线与曲线相切于点，

则，且切线斜率，

所以切线方程为，

因此，整理得，

构造函数，

则“若过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有三个不同的零点”，，与的关系如下表：

	+	0		0	+
		极大值		极小值

所以的极大值为，极小值为，

要使有三个解，即且，解得．

因此，当过点存在3条直线与曲线相切时，

t的取值范围是．