Question

【题目】已知数列，且为该数列的前项和.

（1）写出数列的通项公式；

（2）计算，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；

（3）求数列的前项和的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见详解；（3）.

【解析】

（1）根据题意直接写出的通项公式；（2），由求得，同理求得.接着猜想，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设，则当n=k+1时，由条件可得当n=k+1时，也成立，从而猜想仍然成立.（3）对的表达式进行变形化简，利用求函数值域的方法即可求得.

（1）根据题意可得；

（2）；

；

；

可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为.于是可以猜想.

下面我们用数学归纳法证明这个猜想.

①当时，左边，

右边，猜想成立.

②假设当时猜想成立，即

.

所以，当时猜想也成立.

根据（1）和（2），可知猜想对任何都成立.

（3）由（2）知，因为，所以，

则，即，

所以.