Question

【题目】已知函数.

（1）若，讨论方程根的情况；

（2）若，，讨论方程根的情况.

Answer 1

【答案】(1) 当或时，无零点；当时，有个零点.

(2) ，方程无解 .

【解析】分析：（1）由，令，利用导数研究函数的单调性，可得或，的图象与轴无交点，再分两种情况讨论的范围，分别利用导数求出的最值，结合函数图象列不等式可得结果；（2），令，

，讨论两种情况，分别利用导数判断函数的单调性，求出函数最值，结合函数图象与零点存在定理，即可得结果.

详解：（1），令.

此时①若，在递减，，无零点；

②若，在递增，，无零点；

③若，在递减，递增，其中.

Ⅰ.若，则，此时在无零点；

Ⅱ.若，则，此时在有唯一零点；

综上所述：当或时，无零点；当时，有个零点.

（2），令，

①若，在递增，，无零点；

②若，在递增，递减，递增.

其中，

显然

消元：，其中， 令， ，即，无零点.

综上所述：，方程无解 .