Question

【题目】在三棱锥中， 和是边长为的等边三角形， ， 分别是的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求证: 平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）.

【解析】试题分析：（1）欲证OD∥平面PAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OD与平面PAC内一直线平行，而OD∥PA，PA平面PAC，OD平面PAC，满足定理条件； （2）欲证平面PAB⊥平面ABC，根据面面垂直的判定定理可知在平面PAB内一直线与平面ABC垂直，而根据题意可得PO⊥平面ABC；

（3）根据OP垂直平面ABC得到OP为三棱锥P-ABC的高，根据三棱锥的体积公式可求出三棱锥P-ABC的体积．又因为D为PB中点，所以高是PO的一半.

试题解析：（1）∵分别为的中点，

∴.

又平面, 平面，

∴平面.

（2）连接,∵为中点， ,

∴.

同理， .

又，

∴，

∴.

∴.

∵，

∴平面.

（3）由（2）可知平面，

∴为三棱锥的高，且.

∴.