Question

【题目】已知椭圆的焦距为，且，圆与轴交于点，，为椭圆上的动点，，面积最大值为.

（1）求圆与椭圆的方程；

（2）圆的切线交椭圆于点，，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）圆的方程为，椭圆的方程为.；（2）.

【解析】分析：(1)由题意结合几何关系得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可得，，.则圆的方程为，椭圆的方程为.

(2)①当直线的斜率不存在时，计算可得.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为利用圆心到直线的距离等于半径可得，联立直线与椭圆方程可得，由弦长公式有.令，换元后结合二次函数的性质可得.则的取值范围是.

详解：(1)因为，所以.①

因为，所以点为椭圆的焦点，所以.

设，则，所以.

当时，，②

由①，②解得，所以，.

所以圆的方程为，椭圆的方程为.

(2)①当直线的斜率不存在时，不妨取直线的方程为，解得.

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.

因为直线与圆相切，所以，即，

联立，消去可得，

.

=

=.

令，则，所以=，

所以=，所以.

综上，的取值范围是.