Question

4．正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，则该四棱锥外接球的表面积为8π．

Answer 1

分析 先画出图形，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，然后根据勾股定理解出球的半径，最后根据球的表面积公式即可求解．

解答 解：如图，设正四棱锥底面的中心为O₁，设外接球的球心为O，
则O在正四棱锥的高PO上．
在直角三角形ABC中，AC=2$\sqrt{2}$，
AO₁=$\sqrt{2}$，则高PO₁=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
则OO₁=PO₁-R=$\sqrt{2}$-R，OA=R，
在直角三角形AO₁O中，R²=（$\sqrt{2}$-R）²+（$\sqrt{2}$）²，
解得R=$\sqrt{2}$，即O与O₁重合，
即正四棱锥外接球的球心是它的底面的中心O₁，且球半径R=$\sqrt{2}$，
球的表面积S=4πR²=8π，
故答案为8π．

点评 本题主要考查球的表面积，考查计算能力和空间想象能力，属于中档题．