Question

如图，已知椭圆C：=1的离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△_PMN=，求直线AB的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意：，∴，∴①．
又∵P（2，1）在椭圆上，所以②．
联立①②得：a²=8，b²=2．
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设直线PA的方程为y-1=k（x-2），代入椭圆方程得：x²+4[k（x-2）+1]²=8，
整理得：（1+4k²）x²-8（2k-1）x+16k²-16k-4=0．
∵方程一根为2，由根与系数关系得，∴．
则．
∴A．
∵PA与PB倾斜角互补，∴k_PB=-k_PA=-k．
则B．
∴=．
设直线AB方程为，即x-2y+2m=0，
则M（-2m，0），N（0，m）（m＜0），
P到直线AB的距离为d=．
|MN|=．
∴．解得，或m=1（舍）．
所以所求直线AB的方程为x-2y-3=0．
分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，椭圆过定点P（2，1）及条件a²=b²+c²联立可求a²，b²，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）设出过P点的直线方程，和椭圆方程联立后由根与系数关系求出A的坐标，同理求出B的坐标，由两点式求出过AB直线的斜率，再设出AB的斜截式方程，利用三角形PMN的面积等于就能求出截距，则直线AB的方程可求．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、面积问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．