Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆C₁：

x2

4

+y²=1和C₂：

x2

16

+

y2

4

=1，判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线l：y=x+1，在椭圆C_b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

Answer 1

分析：（1）椭圆C₂与C₁相似．先求得椭圆C₂与椭圆C₁的特征三角形的腰长和底边长，可发现两特征三角形相似，进而可判断两椭圆相似．
（2）先假设存在，得到点M，N的直线方程和中点坐标，然后联立椭圆和直线消去y得到关于y的一元二次方程，根据韦达定理可得到两根之和，即得到MN中点x₀的值，代入到直线可确定y₀的值，再由MN的中点在直线上可求得t的值．

解答：解：（1）椭圆C₂与C₁相似．
因为C₂的特征三角形是腰长为4，底边长为2

3

的等腰三角形，
而椭圆C₁的特征三角形是腰长为2，底边长为

3

的等腰三角形，
因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1
（2）假定存在，则设M、N所在直线为y=-x+t，MN中点为（x₀，y₀）．
则

y=-x+t x2 4b2 + y2 b2 =1

∴5x²-8xt+4（t²-b²）=0．
所以x₀=

x1+x2

2

=

4t

5

，y₀=

t

5

．
中点在直线y=x+t上，所以有t=-

5

3

．

点评：本题主要考查椭圆的基本性质的简单应用和直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线是高考的重点问题，经常以压轴题的形式出现，一定要引起重视．