Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，F₁、F₂分别为椭圆C的左、右焦点，A（0，b），且

F1A

•

F2A

=-2过左焦点F₁作直线l交椭圆于P₁、P₂两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l的倾斜角a∈[

π

3

，

2π

3

]，直线OP₁，OP₂与直线x=-

4 3

3

分别交于点S、T，求|ST|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积公式，结合离心率，即可求得椭圆方程；
（2）确定直线OP₁、OP₂的方程，求出S，T的坐标，可得|ST|，结合m的范围，即可得到结论．

解答：解：（1）设F₁（-c，0），F₂（c，0），则
由

F1A

•

F2A

=-2得b²-c²=-2
∵e=

c

a

=

3

2

∴a²=4，b²=1，c²=3
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设直线l的方程为x=my-

3

∵倾斜角α∈[

π

3

，

2π

3

]，
∴m∈[-

3

3

，

3

3

]
则P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）的坐标轴满足方程组

x2 4 +y2=1 x=my- 3

∴（m²+4）y²-2

3

my-1=0
∴y1+y2=

2 3 m

m2+4

，y1y2=-

1

m2+4

∴x₁x₂=4×

3-m2

m2+4

由P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），得直线OP₁、OP₂的方程为y=

y1

x1

x、y=

y2

x2

x
∴点S、T的坐标为S（-

4 3

3

，-

4 3

3

y1

x1

），T（-

4 3

3

，-

4 3

3

y2

x2

）
∴|ST|=

4 3

3

|

y1

x1

-

y2

x2

|=

4 m2+1

3-m2

令

m2+1

=t
∵m∈[-

3

3

，

3

3

]
∴t∈[1，

2 3

3

]
∴|ST|=

4t

4-t2

∈[

4

5

，

3

]．

点评：本题考查向量知识的运用，考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．