Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S₃=0，S₅=-5，则数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前8项和为（　　）

• A． -$\frac{3}{4}$
• B． -$\frac{8}{15}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{8}{15}$

Answer 1

分析 根据等差数列的前n项和公式解方程组即可求{a_n}的通项公式，再求出求数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}通项公式，利用裂项法即可求前8项和

解答 解：由等差数列的性质可得$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=0}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4d}{2}=-5}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=0}\\{{a}_{1}+2d=-1}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=-1，
则{a_n}的通项公式a_n=1-（n-1）=2-n，
∴$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（3-2n）（1-2n）}$=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
∴数列{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前8项和为$\frac{1}{2}$（-1-1+1-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{13}$-$\frac{1}{15}$）=$\frac{1}{2}$（-1-$\frac{1}{15}$）=-$\frac{8}{15}$，
故选：B．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用裂项法进行求和，考查学生的计算能力．