Question

【题目】已知点为椭圆C：（，）上一点，和分别为椭圆C的左右焦点，点D为椭圆C的上顶点，且.

（1）椭圆C的方程；

（2）若点A、B、P为椭圆C上三个不同的动点，且满足，直线与直线交于点Q，试判断动点Q的轨迹与直线的位置关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）相切，理由见解析.

【解析】

（1）由已知化简可得，代入椭圆方程，计算即可求得结果；

（2）设,，由化简可得，利用轨迹法可求得Q的轨迹方程，设直线与直线交于点M，则点M为线段的中点，根据可求得，利用点差法可求得直线直线的方程，和Q的轨迹方程联立，点坐标代入化简利用判别式可得出结论相切.

解：（1）由已知可得：，则

所以 ，，

又由于已知点在椭圆C上，则，解得，，

椭圆C的方程.

（2）设,

∵，直线与直线交于点Q，

∴.

则.

由，得，

∴动点Q的轨迹方程为.

设直线与直线交于点M，则点M为线段的中点，且，

当时，∵，，∴，

∴直线的方程为，整理得.

将代入动点Q的轨迹方程得，.

将代入（※），整理得.

∵，∴直线与动点Q的轨迹相切.

当时，直线的方程为，∴直线与动点Q的轨迹相切.

综上可知，直线与动点Q的轨迹相切.