Question

13．在△ABC中，bcosC=（2a-c）cosB．
（1）求B；
（2）若b=$\sqrt{7}$，且a+c=4，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinA=2sinAcosB，又sinA≠0，可求cosB=$\frac{1}{2}$，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．
（2）由余弦定理可得ac的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（2a-c）cosB，
∴sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，可得：sin（B+C）=2sinAcosB，
∴sinA=2sinAcosB，
∵A∈（0，π），sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$…5分
（2）∵b=$\sqrt{7}$，B=$\frac{π}{3}$，且a+c=4，
∴由余弦定理可得：7=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=16-3ac，可得：ac=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$…10分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．