Question

9．已知中心在原点的双曲线，其右焦点与圆x²-4x+y²+1=0的圆心重合，且渐近线与该圆相离，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
• B． （1，2）
• C． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 双曲线的渐近线与圆x²+y²-4x+1=0相离?圆心（2，0）到渐近线的距离＞半径r．解出即可．

解答 解：由圆x²+y²-4x+1=0化为（x-2）²+y²=3，得到圆心（2，0），半径r=$\sqrt{3}$．
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的渐近线y=±$\frac{b}{a}$x与圆x²+y²-4x+1=0相离，
∴$\frac{|2b|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＞$\sqrt{3}$，化为b²＞3a²．c²-a²＞3a²，可得e²＞4，∵e＞1
∴e＞2．
∴该双曲线的离心率的取值范围是：（2，+∞）．
故选：D．

点评 熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式是解题的关键．