Question

20．已知函数y=f（x）对任意的x∈R满足f′（x）-f（x）ln2＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）

• A． 4f（-2）＞f（0）
• B． 2f（1）＞f（2）
• C． 2f（-2）＜f（-1）
• D． 2f（0）＞f（1）

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{2}^{x}}$，
则g′（x）=$\frac{{2}^{x}f′（x）{-2}^{x}ln2f（x）}{{2}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-ln2f（x）}{{2}^{x}}$，
∵x∈R满足f′（x）-f（x）ln2＞0，
∴g′（x）＞0，
即函数g（x）在R上单调递增，
则g（-2）＜g（-1），g（1）＜g（2），g（-2）＜g（0），g（0）＜g（1），
即 $\frac{f（-2）}{{2}^{-2}}$＜$\frac{f（-1）}{{2}^{-1}}$，$\frac{f（1）}{2}$＜$\frac{f（2）}{4}$，$\frac{f（-2）}{{2}^{-2}}$＜f（0），f（0）＜$\frac{f（1）}{2}$，
即2f（-2）＜f（-1），2f（1）＜f（2），4f（-2）＜f（0），2f（0）＜f（1），
故C正确．
故选：C．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．